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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学高等代数真题}}
\author{孙俪源}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\everymath{\displaystyle}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\def\d{\mathrm{d}}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\section*{2015年高等代数}
\begin{problem}[本题15分]

    若多项式$x^{3}-24x+p$有有理数根，这里p是一个素数，试求p的值。
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]

    证明：对于任意的自然数n，均有$(x^{2}+x+1)|\left((x^{n+2}+(x+1)^{2n+1}\right)$
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]

    计算n级行列式$\left|\begin{matrix}\cos a&1&0&\cdots&0&0\\ 1&2\cos a&1&\cdots&0&0\\ 0&1&2\cos a&\cdots&0&0\\ 0&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1&2\cos a\end{matrix}\right|$
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]

    设A是n级方阵，$A^{\ast}$是A的伴随矩阵，且矩阵A的秩r(A)=n-1，证明：存在数k使$\left(A^{*}\right)^{2}=k A^{*}$
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]

    设$V_{1}$，$V_{2}$是线性空间V的子空间，如果和$V_{1}+V_{2}$中零向量的分解式是唯一的，即等式$\alpha_{1}+\alpha_{2}=0$，$\alpha_{i}\in V_{i}(i=1,2)$。
    
    只有在$a_{i}$全为零向量时才成立，则和$V_{1}+V_{2}$是直和。
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]

    设A,B分别是数域P上的$m\times n$，$n\times s$矩阵，W是由齐次线性方程组$A x=0$的所有解构成的线性空间，$V=L(a_{1},\ldots,a_{s})$是由矩阵B的列向量组$a_{1},\ldots,a_{s}$生成子空间，则$r(A B)=r(B)-\dim(W\cap V)$
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]

    已知3级方阵A满足$A^{2}-2A-3E=0$，且A的迹为1，证明：$r(A+E)=1$。
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]

    设A是一个n级正定方阵，$\text{a}$是一个n维非零的实向量，$M=\left(\begin{matrix}A&\alpha\\ \alpha^{T}&0\end{matrix}\right)$
    证明：二次型$f(x)=X^{T}M X$的正负惯性指数分别为n和1。
\end{problem}
\begin{problem}[本题30分]

    令K是数域P上的一个千级可逆方阵，且$K^{T}=-K$，这里$K^{\mathrm{~T~}}$表示矩阵K的转置，W是数域P上千维列向量空间$p^{4}$的一个子空间，且满足$\alpha^T K\beta=0$，$\forall a,\beta\in W$。
    
    证明：1、K与矩阵$\left(\begin{matrix}0&E_2\\ -E_1&0\end{matrix}\right)$合同。

        2、存在2维的子空间W满足条件。$\alpha^{\mathrm{~T~}}K\beta=0$，$\forall a,\beta\in W$。

        3、证明结论：任取W中一组向量$a_1,\ldots,a_t$，令$Q=(a_{1},\ldots,a_{t})$。

         则$Q^{T}k Q=0$，然后利用此结论证明满足条件的子空间W的维数小于等于2。
\end{problem}
\end{document}
